2値データの要因解析の解説

「合格・不合格」「発生した・しなかった」「成功・失敗」のように結果が 2 通りのデータと、温度・時間・濃度などの測定値との関係を、ロジスティック回帰で調べます。

どんなときに使うか

• 結果に効いている変数はどれか、どのくらい効いているかを調べる
• 「不合格の確率を 1% 以下にするには、温度を何度以下にすればよいか」のように、確率が目標になる条件を求める
• 2 つの変数の組み合わせで、起きやすい領域を図にする

結果が数値で取れるなら、普通の回帰分析の方が少ないデータで多くのことが分かります。合否しか記録がないとき、または結果が本質的に 2 値のときに使います。

モデル

「起きた方の結果」（設定で選んだ側）の確率を p として、そのロジット（対数オッズ）が説明変数の一次式になると考えます。

log( p / (1 − p) ) = b0 + b1·x1 + b2·x2 + …
p = 1 / (1 + exp(−(b0 + b1·x1 + b2·x2 + …)))

• オッズ p / (1 − p)：起きる確率と起きない確率の比。p = 20% ならオッズは 0.25
• オッズ比 exp(b)：x が 1 増えたとき、オッズが何倍になるか。1 より大きければ起きやすくなる
• 確率は S 字の曲線で変わるので、同じ 1 増えでも、確率が 50% 付近と 1% 付近では確率の増え方が違います。オッズ比は一定です

1σ あたりのオッズ比

「温度 1 ℃」と「時間 1 分」では 1 単位の重みがまったく違うので、各変数のデータの標準偏差（1σ）だけ増えたときのオッズ比を並べて比べます。影響の大きさの比較には、尤度比 χ²（大きいほど結果をよく説明する）も使えます。

区分の変数

材料の種類・グループ・担当者などは、基準の水準に対するオッズ比で表します（基準は「変数の設定」で選べます）。水準が k 種類なら係数は k − 1 個です。

2乗項・交互作用

• 2乗項：温度が低すぎても高すぎても失敗する、のように確率が途中で最小（最大）になる関係を表します
• 交互作用：温度が高いときだけ時間が効く、のように一方の値でもう一方の効き方が変わる関係を表します

どちらも入れるとオッズ比が一定でなくなるので、効き方は効果の曲線と確率の地図で見てください。

推定と検定

• 最尤法：観測された結果が最も起こりやすくなる係数を、ニュートン法で求めます
• 変数ごとの p 値：その変数（2乗項・交互作用・ダミー変数を含めて）を除いたモデルとの尤度比検定です。係数表の p 値（Wald 検定）より正確です
• モデル全体の p 値：説明変数をすべて除いたモデルとの尤度比検定

分離と Firth 法

「温度が 40 ℃ を超えたものはすべて不合格、それ以下はすべて合格」のように、ある値を境に結果が完全に分かれることを分離といいます。分離していると、最尤法の係数は無限大に発散し、標準誤差も p 値も意味を持ちません。少ないデータの試験ではよく起こります。

Firth 法は、対数尤度に 0.5 × log|情報行列| を足した罰則つき尤度を最大にする方法で、分離していても有限の係数を返し、少数データでの係数の過大な推定（偏り）も抑えます。「自動」では分離を検出したときだけ Firth 法に切り替えます。Firth 法の p 値は罰則つき尤度比検定（Heinze & Schemper, 2002）です。

必要なデータの量

少ない方の結果の件数が、推定する係数 1 個あたり 10 件以上あるのが目安です。少ない方が 15 件なら、説明変数は 1〜2 個が限度です。少ないと係数が過大に出やすく、予測確率も極端になります。

当てはまりの確認

• AUC：起きたものを、起きなかったものよりも高い確率で予測できている組の割合。0.5 は当て推量、0.7 以上でまずまず、0.8 以上で判別力が高い
• Hosmer-Lemeshow 検定：予測確率の小さい順に約 10 組に分け、組ごとの予測件数と実際の件数を比べます。p が小さい（0.05 未満）と、モデルの形（2乗項・交互作用・変数の不足）を見直す余地があります
• McFadden R²：1 − 対数尤度 ÷ 帰無モデルの対数尤度。普通の回帰の R² より小さく出るのが普通で、0.2〜0.4 でもよく当てはまっています
• VIF：説明変数どうしの相関の強さ。10 を超えると係数が不安定で、どちらが効いているか区別できません
• 効果の曲線のオレンジの点：データを件数の等しい区間に分けた実際の割合。曲線から大きく外れていれば、形が合っていない可能性があります

予測と逆算

条件を入れると、確率とその信頼区間を計算します。「目標の確率」を入れると、各数値変数について、ほかの条件を固定したときに確率が目標になる値を求めます。不良のように目標以下にしたいときと、成功のように目標以上にしたいときを選べます。

• 推定：予測確率がちょうど目標になる値
• 確実な側：目標以下にしたいときは予測確率の信頼区間の上限が、目標以上にしたいときは下限が目標になる値。「この値なら、確率は目標を満たすと（信頼度 95% で）言える」範囲です。管理値を決めるときはこちらを使います

データの範囲の外の値は外挿なので、計算はできても裏付けがありません。

使うときの注意

• 関連があることは、原因であることを意味しません。同じ時期のデータは条件が似通うなど、隠れた要因で関連が生まれることがあります。要因を確かめるには、条件を計画的に変えた試験（実験計画法）が必要です
• 起きなかった方の結果も必ず記録に残してください。起きたものだけでは解析できません
• 測り方や判定の基準がそろっていないデータを混ぜると、その差が誤差や見かけの効果になります